multiplication & division vectorielle scalaire

Propriétés

Distributivité sur somme de scalaires

$(a \pm b) \vec{v} = a \vec{v} \pm b \vec{v}$

\begin{aligned} (a + b) \vec{v} & =< (a + b) v_{1}, (a + b) v_{2}, \dots (a + b) v_{n} > \\ =< a v_{1} + b v_{1}, a v_{2} + b v_{2}, \dots a v_{3} + b v_{n} > \\ =< a v_{1}, a v_{2}, \dots a v_{n} > + < b v_{1}, b v_{2}, \dots b v_{n} > \\ = a \vec{v} + b \vec{v} \end{aligned}

$◻$

Distributivité sur somme de vecteurs

$a (\vec{v} \pm \vec{w}) = a \vec{v} \pm a \vec{w}$ & $\frac{\vec{v} \pm \vec{w}}{a} = \frac{\vec{v}}{a} \pm \frac{\vec{w}}{a}$

\begin{aligned} a (\vec{v} + \vec{w}) & = a < v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, \dots v_{n} + w_{n} > \\ =< a (v_{1} + w_{1}), a (v_{2} + w_{2}), \dots a (v_{n} + w_{n}) > \\ =< a v_{1} + a w_{1}, a v_{2} + a w_{2}, \dots a v_{n} + a w_{n} > \\ =< a v_{1}, a v_{2}, \dots a v_{n} > + < a w_{1}, a w_{2}, \dots a w_{n} > \\ = a \vec{v} + a \vec{w} \end{aligned}

$◻$

Parallélisme

$\vec{v} ∥ \vec{w}$ si $\exists k \in R$ telle que

\vec{v} = k \vec{w}

[!example]+ Déterminer si $\vec{v} =< 1, 4, 1 >$ et $\vec{w} =< - 3, 12, - 3 >$ sont parallèles.
$\begin{aligned} v_{1} & = - \frac{1}{3} w_{1} \\ v_{2} & = \frac{1}{3} w_{2} \\ ⟹ \vec{v} & ∦ \vec{w} \end{aligned}$

Exemples

Soit $P = (1, 1, 2)$ et $Q = (8, 15, - 12)$ , trouver le point $R$ situé au $\frac{2}{7}$ du chemin entre $P$ et $Q$ .

\begin{aligned} \vec{P Q} & =< 8 - 1, 15 - 1, - 12 - 2 > \\ =< 7, 14, - 14 > \\ \vec{P R} & = \frac{2}{7} \vec{P Q} \\ =< 2, 4, - 4 > \\ \vec{O R} & = \vec{O P} + \vec{P R} \\ =< 3, 5, - 2 > \\ ⟹ R & = (3, 5, - 2) \end{aligned}

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Ajitani Hifumi

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